Главная страница | Физика и математика | Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2

Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2
Ольга Ведилова
Конспект описывает и дополняет математический аппарат к учебному руководству И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2 «Квантовая механика».

Ольга Ведилова
Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2

Глава I

Основные положения квантовой механики

1.01.Введение(01)
1.02.Состояние(08)
?x??p
? h/2
?x??v
? h/2m

1.03.Принцип суперпозиции(12)
? = ?c
?


1.04.Физический смысл ? функции(14)
? = ?(x,y,z) dV = dx·dy·dz
dP = |?|
dV = ?
?dV
?|?|
dV = ??
?dV = 1
? = ?(x
,y
,z
,x
,y
,z
)
dP = |?(x
,y
,z
,x
,y
,z
)|
dV
dV

= ?rdP = ?r|?|
dV = ??
r?dV
= ??
x?dV = ??
y?dV = ??
z?dV
U = U(x,y,z)
= ??
U?dV

1.05.Уравнение Шредингера(16)

?
? ?

U = U(x,y,z) не зависит от t:
?(x,y,z,t) = ?(x,y,z)f(t)

левая часть равенства – функция координат, правая –времени,
следовательно, равны константе

f = e

/



стационарное уравнение Шредингера:

?(x,y,z,t) = ?(x,y,z) e



|?|
= |?|

уравнение Шредингера для стационарных состояний
(? заменяем на ? !!!)

уравнение Шредингера для свободной частицы:
U = 0

k
= 2mE/h
= p
/h
E = mv
/2 = p
/2m
?? + k
? = 0
1)одна координата x:
k
= k


?? = ?
? /?x

?
? /?x
+ k
? = 0
?(x) = e


?(x,t) = e

e

/


= e

/






= e

/


?


? = E/h k = p/h -для волны
2)все координаты:
k
= k

+ k

+ k


?? = ?
?/?x
+ ?
?/?y
+ ?
?/?z

kr = k
x + k
y + k
z
?(x,y,z) = e



? = C
e

+ C
e



формула Эйлера:
e

= cos(kr) + isin(kr)
e


= cos(kr) ? isin(kr)
C
= C
= A/2 => ? = Acos(kr)
C
= ?C
= ?iB/2 => ? = Bsin(kr)
?(x,y,z,t) = e


e


/


= e


/







= e


/








? ?e

/?x = ik
e


?
e

/?x
= ?(ik
e

)/?x = ? k

e


?e

= ?( k

+ k

+ k

)e

= ? k
e


?e

+ k
e

= 0 ?
В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний со значениями импульса, заключенными в интервале от p
–?p до p
+?p

? = E/h
k = p/h

?(k) ? ?
+(d?/dk)
(k ? k
)
c(k) ? c(k
)
? = k – k

?? = ?k

максимум A(x,t):
x
– (d?/dk)
t = 0
x
= (d?/dk)
t
v
= (d?/dk)

E = p
/2m
p = hk
? = E/h = hk
/2m
минимум A(x,t):
[x
? (d?/dk)
t]?k = ±?
x
= (d?/dk)
t ± ?/?k

1.06.Плотность потока вероятности(22) можно пропустить пока !!!

?

Глава II

2.07.Основные постулаты квантовой механики (25)
будем использовать Q вместо для операторов !!!
Первый постулат утверждает, что каждую физическую величину можно представить линейным оператором
Второй постулат квантовой механики гласит, что в результате измерения физической величины Q, представляемой оператором , может получаться лишь одно из собственных значений q
оператора
Третий постулат квантовой механики утверждает, что при измерениях, осуществляемых над системой, находящейся в состоянии ?, для определения значения величины Q, по функциям которой осуществлено разложение , вероятность получить значение q
равна (при надлежащей нормировке функций) квадрату модуля коэффициента c

Q? = f
линейный оператор:
Q(?
+ ?
) = Q(?
) + Q(?
)
Q(c?) = cQ?
Q?c
?
= ?c
Q?

пример:
??c
?
/?x = ?c
??
/?x
собственные значения и собственные функции:
Q? = q?
q
, q
, … , q
, …
?
, ?
, … , ?
, …
? = ?c
?

?|c
|
= ?c

c
= 1
??

?
dV = ?

скалярное произведение функций:
? ??
?dV (1)
= ??
?dV = ?|?|
dV
= ?(a?)
?dV = a
??
?dV = a

= ??
(b?)dV = b??
?dV = b
= a
b

= (??
?dV)
= ??
?dV =

= (2)

= (??
Q?dV)
= ?(Q?)
?dV =

=

= (?(Q?)
?dV)
= ??
(Q?)dV =

=

? = ?c
?

|?
> = ??

?
dV = ?

|?> = |?c
?
> = ?c
|?
> = ?c
?
= c

c
= ??

?dV = |?> (3a)
c

= (??

?dV)
= ??
?
dV = >
c

= ??
?
dV = > (3b)
= ?q
|c
|
= ?q
c

c
= ?q
(??
?
dV)c
= ?(??
q
?
dV)c
=
= ?(??
Q?
dV)c
= ??
Q?c
?
dV = ??
Q?dV
= ??
Q?dV = (4)
через скалярное произведение функций (наглядней):
= ?q
|c
|
= ?q
c

c
= ?q
>c
= ??
>c
=
= ?>c
= ?
> =
Мы получили одну из важных формул квантовой механики. Она позволяет, зная пси-функцию состояния, находить среднее значение результатов измерений любой физической величины. Для этого нужно знать также вид оператора, соответствующего данной величине.

2.08.Линейные операторы(30)
комплексно сопряженный оператор:
(Q?)
= Q
?
(5)
транспонированный оператор:
Q
? Q?
=??
Q?dq ? ??Q??
dq = |Q??
>
|Q??
> ? (6a)
= |Q??
> = |Q?
> (6b)
?> = |Q
?
> =
Q
= Q (6c)
эрмитово сопряженный оператор:
?|?> ? (7a)
?|?> = =??
Q?dV = ??Q??
dV = ?(Q?
?)
?dV = ?|?>
Q
= Q?
(7b)
через скалярное произведение функций:

=

= (??
?dV)
= ??
?
dV = < ?
|?
>
?|?> = = |Q??
> = |?
>
= <(Q??
)
|?> = ?|?>

Q?
= q
?
|?
> = 1
??

Q?
dV = ??

q
?
dV = q
??

?
dV = q

|Q?
> = |q
?
> = q
|?
> = q

1) q
= ??

Q?
dV = |Q?
>
q

= (??

Q?
dV)
= (??
Q??

dV)
=??

Q?
?
dV = ??

Q
?
dV
q

= |Q?
>
= |?
> = |Q
?
>
2) q

= ??

Q
?
dV = |Q
?
>
q
= q

? |Q?
> = |Q
?
> ? Q = Q

короче:
q
= q


< Q
?
|?
> = |Q?
> = q
= q

= |Q?
>
= |?
>
Q
= Q
Опр. Оператор, для которого выполняется условие Q = Q
, называется
сопряженным или эрмитовым
Итак, мы пришли к выводу, что физические величины, для которых собственные величины вещественны, должны изображаться самосопряженными (эрмитовыми) операторами Q, для которых справедливы соотношения
=
??
Q?dV = ?(Q?)
?dV = ?Q
?
?dV
Покажем, что собственные функции эрмитовых операторов
взаимно ортогональны:
Q
= Q
|?
> = |Q?
>
Q?
= q
?
q

= q

Q?
= q
?
q

= q

1) |?
> = q

|?
> = q
|?
>
2) |Q?
> = q
|?
>
q
|?
> = q
|?
>
(q
? q
)|?
> = 0
|?
> = ?

Q
= Q ? |?
> = ?


1 = ??
?dV = ?(?c
?
)
(?c
?
)dV = (??c

c
)??

?
)dV =
= (??c

c
)?
= ?c

c
= ?|c
|


2.09.Представление операторов в матричной форме(35)
f = Q?
? = ?a
?

f = ?b
?

|?
> = ?

a
= |?>
b
= |?>
?b
?
= Q?a
?
= ?a
Q?

?b
|?
> = ?a
< ?
|Q?
>
Q
? < ?
|Q?
> = ??

Q?
dV
?b
?
= ?a
Q

b
= ?Q
a

полагаем суммирование по повторяющимся индексам !!!
(при этом упрощаются записи)
b
= Q
a



Q?
= q
?
|?
> = ?

Q
= |Q?
> = q
|?
> = q
?





(Q
)
= (Q
)

(Q?)
= Q

(Q
)
= (Q?
)
= (Q
)


? = ?c
?

= = ?
|Q?c
?
> = c

c
??|Q?
> = ??c

Q
c

= c

Q
c

можно рассматривать как произведение матрицы строки на матрицу и на матрицу столбец

Q? = q?
Q?c
?
= q?c
?

< ?
|Q?c
?
> = |q?c
?
>
?c
< ?
|Q?
> = q?c
|?
>
?c
Q
= q?c
?

?(Q
? q?
)c
= 0
(Q
? q?
)c
= 0




уравнение для собственных значений:
| Q
? q?
| = 0




2.10.Алгебра операторов(44)
C = A + B
C? = (A + B)? = A? + B?
C
= A
+ B

C = AB
C? = (AB)? = A(B?)
C
= A
B

C = (AB)
= A
B

C
= A

B


C = (AB)
= B
A

C
= B

A

= B

A

= A

B

= (AB)

C = (AB)
= B
A

C
= (B
A
)
= B

A

= B

A

= A

B

= (A
B
)

A
= A & B
= B => (AB)
= B
A
= BA
A
= A & B
= B & AB = BA => (AB)
= BA = AB
(iA)
= ?iA

(iA)
= ?iA


b
= Q
a

b

= Q

a

= Q?

a

= a

Q?

= a

Q




AB ? BA (не коммутирующие)
? A = ?/?x & B = x
AB? = (?/?x)x? = ? + x??/?x
BA? = x(?/?x)? ?
AB = BA (коммутирующие)
AB = ?BA (антикоммутирующие)
коммутатор:
[A, B] ? AB ? BA
? [(?/?x), x] = (?/?x)x ? x(?/?x) = 1 ?

Q?
= q
?

R?
= r
?

(Q + R)?
= (q
+ r
)?

(QR)?
= Q(R?
) = Q(r
?
) = r
Q?
= r
q
?

(RQ)?
= R(Q?
) = R(q
?
) = q
Q?
= q
r
?

[QR] = QR – RQ = 0

AB = BA
A?

= a
?


B?

= b
?


AB?

= BA?

= Ba
?

= a
B?


A(B?

) = a
(B?

)
B?



–собственный вектор A
BA?



= AB?



= Ab
?



= b
A?




B(A?

) = b
( A?

)
A?



–собственный вектор B

2.11.Соотношение неопределенности(51) -можно пока пропустить !!!
?
?A = A ? ?B = B ?
A
= A B
= B
?A
= A
? = A ? = ?A
?A
= ?A ?B
= ?B
> = <(A ? )
> = > ?2 +
= > ?

> = > ?

> = > ?


iK = ?A?B ? ?B?A = (A ? )(B ? ) ? (B ? )(A ? ) =
= (AB ? B ? A + ) –
? (BA ? A ? B + ) =
= AB – BA
iK = ?A?B ? ?B?A = AB – BA
K
= (–i(AB – BA))
= i(B
A
– A
B
) = i(BA – AB) = –i(AB – BA) = K

Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=71386603?lfrom=390579938) на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.